Long time dynamics for nonlinear wave-type equations with or without damping
Dynamique en temps long pour des équations non linéaires de type onde avec ou sans amortissement
Résumé
In this thesis, we study the qualitative behavior of solutions of nonlinear wave-type equations, with or without damping, putting a special emphasis on the description of the long-time dynamics of solutions in the energy space. Through the typical examples of the nonlinear Klein-Gordon equation (NLKG) with or without damping and the nonlinear wave equation (NLW), we study the behavior of solutions that decompose into a single soliton or into sums of solitons, when time goes to infinity.First, we show the conditional stability of multi-solitons for the 1D NLKG equation with double power nonlinearity. Second, for the energy-critical NLW equation, we prove the existence of different types of multi-solitons based on the ground state or on suitable excited states, under various conditions on the space dimension and Lorentz speeds. Finally, we study the long-time dynamics of solitons and multi-solitons of the damped energy sub-critical NLKG equation.
Dans cette thèse, nous étudions le comportement qualitatif des solutions d'équations non linéaires de type onde, avec ou sans amortissement, en mettant un accent particulier sur la description de la dynamique en temps long des solutions dans l'espace d'énergie. Sur les exemples typiques de l'équation de Klein-Gordon non linéaire (NLKG), avec ou sans amortissement, et de l'équation d'onde non linéaire (NLW), nous étudions le comportement des solutions qui se décomposent en un seul soliton ou en une somme de solitons, quand le temps tend vers l'infini.Premierement, nous montrons la stabilité conditionnelle des multi-solitons pour l'équation NLKG en dimension un d'espace et avec double non-linéarité puissance. Ensuite, pour l'équation NLW énergie critique, nous prouvons l'existence de différents types de multi-solitons basées soit sur l'état fondamental, soit sur des états excités bien choisis,sous diverses conditions sur la dimension spatiale et les vitesses de Lorentz. Finalement, nous étudions la dynamique en temps long des solitons et multi-solitons de l'équation NLKG sous-critique pour l'énergie, avec amortissement.
Origine : Version validée par le jury (STAR)